1. В треугольнике abc вектор: А (10; -2; 8) В (8; 0; 7) С (10; 2; 8). Вычислить Ртреугольника

2. Векторы: А (2; -4; 5) В (4; -3; 5) вычислить косинус угла между этими векторами.

3. Векторы: А (2; 4; 5) В (-3; 2; 2) С (-1; 0; 3). Доказать что вектор СА перпендикулярен вектору ВС

1) Если в треугольнике АВС даны не векторы, а координаты его вершин А (10; -2; 8) В (8; 0; 7) С (10; 2; 8), то находим длины сторон:

АВ = √ ((Хв-Ха) ² + (Ув-Уа) ² + (Zв-Zа) ²) = √ 9 = 3,

BC = √ ((Хc-Хв) ² + (Ус-Ув) ² + (Zс-Zв) ²) = √ 9 = 3,

AC = √ ((Хc-Хa) ² + (Ус-Уa) ² + (Zс-Zа) ²) = √ 16 = 4.

Периметр равен 3+3+4 = 10.

2. Векторы: a (2; -4; 5) b (4; -3; 5).

Находим модули векторов:

|a| = √ (4+16+25) = √45 = 3√5,

|b| √ (16+9+25) = √50 = 5√2.

cos (a∧b) = (2*4 + (-4) * (-3) + 5*5) / (√45*√50) = (8+12+25) / √2250 =

= 45 / (15√10) = 3/√10 ≈ 0,948683.

3. Если даны координаты точек: А (2; 4; 5) В (-3; 2; 2) С (-1; 0; 3),

то вектор СА = (2+1=3; 4-0=4; 5-3=2) = (3; 4; 2),

вектор ВС = (-1+3=2; 0-2=-2; 3-2=1) = (2; - 2; 1).

Скалярное произведение а*c=ВС*СА

a · c = ax · cx + ay · cy + az · cz = 6 - 8 + 2 = 0.

Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны.