Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке Н. Одна высота треугольника делится этой точкой пополам, вторая высота делится в отношении 2: 1, начиная от вершины. Найти отношение, в котором точка Н делит третью высоту.

Как ни странно, для решения таких задач важно максимально упростить форму записи соотношений, которые получаются из условия.

Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H;

Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1;

Теорема Ван-Обеля дает

AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1;

BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2;

Теорема Чевы (без учета ориентированности, что тут не важно) дает

(AC1/C1B) * (BA1/A1C) * (CB1/B1A) = 1;

А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B;

Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать.

Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c;

тогда вся эта абракадабра переписывается так

a + 1/c = 1;

1/a + b = 2;

abc = 1;

и надо найти c + 1/b;

теперь видно, что эту систему очень легко решить.

из второго уравнения 1 + ab = 2a; = > 1/c = 2a - 1; тогда из первого получается 3a - 1 = 1; a = 2/3; далее b = 1/2; c = 3;

c + 1/b = 5 = CH/HC1;

Вы проверьте, мало ли, я тут "в пол глаза" решаю, мог и что-то не так сделать.