Найти углы треугольника, если известно, что центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно стороны треугольника

Центры окружностей симметричны, следовательно они лежат на перпендикуляре к АС и на одинаковых расстояниях от АС О1M = О2M

О1 - это точка пересечения биссектрис,

О2 - это точка пересечения серединных перпендикуляров.

Отсюда следует, одна и та же прямая, на которой лежат оба центра окружностей является одновременно и серединным перпендикуляром, и биссектрисой = > треугольник АВС - равнобедренный

и два угла при основании равнобедренного треугольника соответственно равны.

угол A = ВАС = ВСА

и осталось рассмотреть треугольник ВО2 С (равнобедренный), т. к.

ВО2 = СО2 и его вершина О2 лежит на серединном перпендикуляре = >

Углы при основании равны

Угол СВО2 = 90-A = ВСО2 = 3*A/2

=> 90 = 5*A/2 = > A = 36

C=180-36+36=108

Углы треугольника АВС: 36, 36, 108 градусов