Найдите ребро правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 18, а все ребра имеют одинаковую длину.

A - ребро пирамиды

Н - высота пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле: Vпир = 1/3 Sосн · Н.

Площадь основания равна S ocн = a².

Высоту пирамиды можно найти, рассматривая прямоугольный треугольник, в котором катетами являются высота Н и половина диагонали d квадрата, лежащего в основании пирамиды. Гипотенузой этого треугольника является боковое ребро а пирамиды.

Половина диагонали квадратного основания d = а· 0.5√2

Высоту Н найдём из теоремы Пифагора: а² = d² + H² → H = √ (a² - d²) =

= √ (a² - 0.5a²) = √ (0.5a²) = 0.5a √2

Вернёмся к объёму Vпир = 1/3 Sосн · Н = 1/3 a² · 0.5a √2 = a³/6 · √2

Подставим значение Vпир = 18

18 = a³/6 · √2 → а³ = 18 · 6 : √2 → а = ∛4 · 27 : √2) = 3∛ (4:√2) = 3∛ (√8) =

= 3 · 8^ (1/6) = 3√2

Ответ: длина ребра равна 3√2