Не могу решить. Помогите!

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М и боковой стороны АВ в точке N. Отрезки ВМ и СN пересекаются в точке К. Найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если известно, что АС=12 и ВК: КМ=4:3.

Точка касания окружности с BC - T; P - точка пересечения NT и BM;

Ясно, что NT II AC. поэтому BN/AN = BP/PM;

Задано, что BK/KM = 4/3; поэтому KM/BM = 3/7; BK/BM = 4/7;

BP/BM = PT/MC; из подобия BPT и BMC;

PT/MC = PT/AM = PK/KM; из подобия KPT и AKM;

то есть BP/BM = (BK - BP) / KM; или (BP/BM) * (KM/BM) = BK/BM - BP/BM;

(BP/BM) * (1 + KM/BM) = BK/BM; (BP/BM) * (1 + 3/7) = 4/7;

Получилось BP/BM = 2/5; что дает PM/BM = 3/5; BP/PM = 2/3;

Окончательно BN/AN = BP/PM = 2/3; поскольку AN = AM = AC/2 = 6; то BN = 4;

Треугольник ABC получился составленным из двух "египетских" треугольников - его стороны 10,10,12, откуда легко найти, что высота к основанию AC равна 8;

R = 10*10*12 / (4*8*12/2) = 100/16 = 25/4;

Все сложности с решением на самом деле происходят от незнания теорем Чевы и Ван-Обеля. Я не могу понять, то ли эти теоремы не входят в программу (как было в моё время), то ли это "на усмотрение учителей". По-моему - глупость. Смотрите, как эта задача решается с помощью теоремы Ван-Обеля.

BN/NA + BT/TC = BK/KM; откуда BN/NA = 2/3; далее - по тексту.

Фактически приходится доказывать это для частного случая.