В треугольнике две медианы, равные 9 и 12 см, пересекатся под прямым углом. Вычислите стороны треугольника.

Пусть дан треугольник ABC и медианы AK и СМ, AK перпендикулярна CM, т. О - точка пересечения медиан

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины

Пусть x - коэффициент пропорциональности, тогда

2x+x=12 = > 3x=12 = >x=4 = > AO=8, OK=4

2x+x=9 = > 3x=9 = > x=3 = > СO=6, OM=3

Из прямоугольного треугольника AOC:

(AC) ^2 = (AO) ^2 + (CO) ^2=8^2+6^2=64+36=100

AC=10

Из прямоугольного треугольника AOM:

(AM) ^2 = (AO) ^2 + (OM) ^2=8^2+3^2=64+9=73

AM=sqrt (73)

AM=MB

AB=2sqrt (73)

Из прямоугольного треугольника COK

(CK) ^2 = (CO) ^2 + (OK) ^2=6^2+4^2=36+16=52

CK=sqrt (52)

CK=KB

CB=2sqrt (52) = 4sqrt (13)

То есть стороны равны:

AC=10

AB=2sqrt (73)

CB=4sqrt (13)