Треугольник MNK равносторонний со стороной 18 см. Точка С удалена от вершин треугольника MNK на 12 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости MNK

Строим перпендикуляр СО из точки С к плоскости треугольника (его длину нам и нужно найти)

Отрезки ОK, ОM и ОN являются проекциями отрезков СК, СМ и CN на плоскость треугольника. Так как равны сами отрезки (по условию 12 см), то равны и их проекции ОK, ОM и ОN (по теореме Пифагора) :

OK^2 = CK^2 - CO^2 = 12 - CO^2

OM^2 = 12 - CO^2

ON^2 = 12 - CO^2.

Получается, что равны и равнобедренные треугольники, на которые поделен треугольник MNK. (MOK, NOM, KON равны по равенству трех сторон)

Треугольники равны, следовательно, равны углы KMO = OMN = MNO = оNK = NKO = OKM

Это значит, что точка O лежит на пересечении биссектрис. В равностороннем треугольнике - - это по совместительству точка пересечения медиан и высот. Как известно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от угла. Нарисуем медиану KP. Переходим непосредственно к вычислению.

Медиана KP = KM * sin (60) = 18 * sqrt (3) / 2 = 9*sqrt (3)

KO = KP * 2/3 = 6 * sqrt (3) (т. к. медианы делятся точкой пересечения)

И, наконец, по теореме Пифагора:

CO^2 = CK^2 - KO^2 = 12^2 - 36*3 = 36

CO = 6 (см)

Ответ: верен ответ номер 2