Около треугольника с углами 45∘ и 60∘ описана окружность радиуса 2√3+√8-2. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Находим третий угол: 180-45-60 = 75°.

Зная радиус R = 2√3+√8-2 описанной окружности и углы треугольника находим стороны:

а = 2Rsin A = 2 * (2√3+√8-2) * sin 45° = 2 * (2√3+√8-2) * (√2/2) =

= 2√6+4-2√2 ≈ 6,070552.

b = 2Rsin B = 2 * (2√3+√8-2) * sin 60° = 2 * (2√3+√8-2) * (√3/2) =

= 2√6+6-2√3 ≈ 7,434878.

c = 2Rsin C = 2 * (2√3+√8-2) * sin 75° = 2 * (2√3+√8-2) * ((1+√3) / (2√2) =

= (√3+√2-1) * (√2+√6) ≈ 8,292529.

По формуле Герона находим площадь треугольника.

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)).

Здесь полупериметр р = (а+в+с) / 2 = 10,898979.

Подставив данные, находим: S = 21,79795897 кв. ед.

Теперь можно найти искомый радиус вписанной окружности:

r = S/p = 21,79795897/10,898979 = 2.