На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС даны точки М, К, Р соответственно. Докажите, что треугольник МКР равновелик треугольнику, вершины которого получены из точек М, К, Р симметрией относительно середин соответствующих сторон.

Пусть расстояния от середин сторон до точек x, y, z.

Тогда площади треугольников за пределами MKP в сумме дадут

(с/2 - x) * (b/2 + z) * sin (A) / 2 + (c/2 + x) * (a/2 - y) * sin (B) / 2 + (a/2 + y) * (b/a - z) * sin (C) / 2;

Тут могут быть какие-то вопросы, что именно и как обозначено. На самом деле это совершенно не важно. Обозначьте как-то стороны a b c (само собой, напротив стороны a лежит угол A и так далее), и на стороне a точка лежит на y от середины, на стороне b - на расстоянии z от середины, на стороне c - на расстоянии x от середины. При этом x y z могут принимать и положительные, и отрицательные значения. Смысл задачи в том, чтобы доказать, что замена x y z = > - x - y - z не изменяет знака приведенного выражения (само собой, тогда эта замена не влияет и на площадь MKP).

Если раскрыть скобки, получится вот что

(cb/4 - xz) * sin (A) / 2 + (ca/4 - xy) * sin (B) / 2 + (ab/2 - yz) * sin (C) / 2 +

+ (x/4) * (a*sin (B) - b*sin (A)) + (y/4) * (b*sin (C) - c*sin (B)) +

+ (z/4) * (c*sin (A) - a*sin (C)) ;

Первые три слагаемых очевидно не меняют знака при x y z = > - x - y - z,

три других слагаемых равны 0 по теореме синусов, поскольку

a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin (C) ;

всё доказано.