Найдите радиус окружности, вписанной прямоугольный треугольник, если биссектриса осторого угла делит его противолежащий катет на отрезки длиной 8 см и 17 см

Обозначим неизвестный катет "х", а гипотенузу "у".

Составим систему уравнений:

{х² + (8+17) ² = y²,

{ (x/8) = (y/17) (по свойству биссектрисы).

Из второго уравнения у = (17 х) / 8 подставим в первое уравнение.

х² + 625 = (289 х²) / 64,

64 х² + 625*64 = 289 х²,

225 х² = 40000,

х = √ (40000/225) = 200/15 = 40/3.

Тогда гипотенуза равна (17*40) / (3*8) = 85/3.

Радиус окружности, вписанной прямоугольный треугольник, находим по формуле:

r = (a+b-c) / 2 = ((40/3) + 25 - (85/3)) / 2 = (40+75-85) / 6 = 30/6 = 5.