В треугольнике АВС проведены биссектрисы СФ и АД. Найдите отношение площадей треугольников АФД и АВС, если АВ: АС: ВС равно 21:28:20.

АВ=21 х, АС=28 х, ВС=20 х

По свойству биссектрисы:

АВ/ВД=АС/СД или ВД/СД=АВ/АС=21/28=3/4

ВС=ВД+СД=ВД+4 ВД/3=7 ВД/3

АС/АФ=ВС/ВФ или АФ/ВФ=АС/ВС=28/20=7/5

АВ=АФ+ВФ=АФ+5 АФ/7=12 АФ/7

ΔАВС и ΔАВД имеют одинаковые высоты, опущенные из вершины А, значит отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты) Sавс/Sавд=ВС/ВД=7 ВД/3 / ВД=7/3

Sавс=7Sавд/3

Также ΔАФД и ΔАВД имеют одинаковые высоты, опущенные из вершины Д, значит Sавд/Sафд=АВ/АФ=12 АФ/7 / АФ=12/7

Sафд=7Sавд/12

Отношение Sафд/Sавс=7Sавд/12 / 7Sавд/3=1/4