Доказать признак перпегдикулярности прямой и плоскости

Доказательство:

Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости. Тогда

прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что

прямая а перпендикулярна плоскости.

Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и

покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости

произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую

прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х.

Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА 1 и

АА 2. Треугольник А 1 СА 2 равнобедренный, так как отрезок АС является

высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА 1 = АА 2). по

той же причине треугольник А 1 ВА 2 тоже равнобедренный. Следовательно,

треугольники А 1 ВС и А 2 ВС равны по трем сторонам.

Из равенства треугольников А 1 ВС и А 2 ВС следует равенство углов А 1 ВХ и

А 2 ВХ и, следовательно равенство треугольников А 1 ВХ и А 2 ВХ по двум

сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А 1 Х и А 2 Х этих

треугольников заключаем, что треугольник А 1 ХА 2 равнобедренный.

Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что

прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна

плоскости. Теорема доказана.