В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4, а угол 30°. В этот треугольник вписан прямоугольник, у которого одна сторона в два раза больше другой. Найдите площадь прямоугольника, если его большая сторона лежит на гипотенузе, а две вершины - на катетах.

Катет треугольника лежащий против угла 30 градусов будет равен половине гипотенузы, то есть, равен: 4 / 2 = 2. Другой катет будет равен : Sqrt (4^2 - 2^2) = Sqrt (16 - 4) = Sqrt (12) = 2Sqrt (3).

Примем меньшую сторону вписанного прямоугольника равной: х, тогда большая сторона прямоугольника будет равна: 2 х.

Меньшая сторона прямоугольника образует треугольник с углом 30 градусов и углом 90 градусов лежащим на гипотенузе, тогда сторона лежащая на катете размером 2Sqrt (3) будет равна: 2 х, так как она будет гипотенузой этого треугольника. Большая сторона прямоугольника образует со стороной треугольника равной 2Sqrt (3) еще один треугольник с углами 30 и 90 градусов и гипотенузой равной 2 х. Тогда катет этого треугольника лежащий на катете равном 2 будет равен 2 х/2 = х, а катет лежащий на стороне равной 2Sqrt (3), будет равен : sqrt (2x^2 - x^2) = Sqrt (4x^2 - x^2) = Sqrt (3x^2) = xSqrt (3). Отсюда имеем, что катет треугольника равный 2Sqrt (3) = 2x + xSqrt (3) ; 2Sqrt (3) = x (2 + Sqrt (3)) ; x = 2Sqrt (3) / (2 + Sqrt (3)). Другая сторона прямоугольника будет равна: 2 х = 4Sqrt (3) / (2 + Sqrt (3)). Площадь прямоугольника будет равна: 2sqrt (3) / (2 + Sqrt (3)) * 4Sqrt (3) / (2 + Sqrt (3)) = 8 * 3 / (4 + 2Sqrt (3) + 3) = 24 / (7 + 2sqrt (3))