В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC катеты равны 2 см. Из вершины прямого угла C проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD, причем CD=4 см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB.

В треугольнике АВС проведем высоту (и медиану) СК, соединим точки D и К.

DК - наклонная к плоскости треугольника АВС

СК - проекция к наклонной

1) найдем АВ

2) найдем СК;

3) найдем ДК - расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

В треугольнике АВС:

АВ - гипотенуза

АВ2=АС2+ВС2

АВ=корень из (2*2+2*2) = 2,8 (см)

СК - медиана и высота, тогда

треуг. АСК=треуг. СКВ - прямоугольные

АК=КВ=2,8:2=1,4 (см)

В треуг. СКВ:

СК - катет

СК2=СВ2-КВ2

СК=корень из (2*2-1,4*1,4) = 1,4 (см)

Треугольник СDК - прямоугольный

DК - гипотенуза

DК2=СК2+СD2

DК=корень из (4*4+1,4*1,4) = корень из 18=4,2 (см)

Искомая прямая будет наклонной к плоскости треугольника АВС. А высота треугольника, проведенная к гипотенузе будет проекцией этой наклонной. По теореме о трех перпендикулярах образовавшаяся из высоты треугольника, наклонной и прямой, перпендикулярной плоскости данного треугольника, будет прямоугольным треугольником.

Высота треугльника=v"2

искомая прямая=v"2+16=v"18 cm.