Доказать, что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы двух сторон, к которым проведены эти медианы

Если m - медиана к стороне a, n - медиана к стороне b, то

m + a/2 > b;

n + b/2 >a;

это - неравенства треугольника для двух треугольников, образованных медианой, половиной стороны, к которой она проведена и другой стороной.

отсюда

m > b - a/2;

n >a - b/2;

если сложить, получится

m + n > (b + a) - (a + b) / 2;

или m + n > (a + b) / 2; ЧТД