В единичном кубе abcda1b1c1d1 найти

1) угол между прямыми ad1 и a1b

2) между прямой dd1 и плоскостью a1bc1

3) между плоскостями abc и ab1d1

Пусть А - начало координат.

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Координаты точек

B (1; 0; 0)

C1 (1; 1; 1)

D (0; 1; 0)

A1 (0; 0; 1)

D1 (0; 1; 1)

B1 (1; 0; 1)

Вектора

АD1 (0; 1; 1) длина √2

A1B (1:0; -1) длина √2

DD1 (0; 0; 1)

Косинус Угла между AD1 и A1B

1/√2/√2=1/2 угол 60 градусов.

Уравнение плоскости А1 ВС1

ах+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек

c+d=0

a+d=0

a+b+c+d=0

Пусть d = - 1 тогда с=1 а=1 b = - 1

x-y+z-1=0

Синус угла между DD1 и А1 ВС1

1/√3=√3/3 угол arcsin (√3/3)

Уравнение плоскости АВС

z=0

Плоскость АВ1D1

ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек

а+с=0

b+c=0

Пусть с = - 1 тогда а=1 b=1

x+y-z=0

Косинус угла между искомыми плоскостями

1/√3=√3/3 угол arccos (√3/3)