Высоты треугольника равны 12,15,20 см. Найти площадь треугольника.

S=1/2*12*a=1/2*15*b=1/2*c*20

S=6a=15/2b=10c

a=5c/3

b=4c/3

Найдем полупериметр: (5 с/3+4 с/3+c) / 2 = 2c

По формуле Герона: S=sqrt (2c*c/3*2c/3*c) = (2c^2) / 3

Приравняем площади: 10 с = (2c^2) / 3

c=15

a=5*15/3=25

b=4*15/3=20

Площадь равна: S=6a=6*25=150 (кв. см)

12, 15, 20 - высоты, опущенные на стороны a, b, c⇒2S=12a=15b=20c. Обозначим эти общие значения через 60t⇒a=5t; b=4t; c=3t⇒a²=b²+c²⇒ по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник прямоугольный; a - гипотенуза, b и c - катеты. Высоты, опущенные на катеты, совпадают с катетами. Значит, катеты треугольника равны 15 и 20⇒S=15·20/2=150

Ответ: 150