Внутри равностороннего треугольника взята точка К, отстоящая от его сторон на расстояния

a, b и c. Найти площадь треугольника.

Обозначим данный треугольник АВС

Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр.

с, а и b - перпендикулярны сторонам △АВС

Соединим К с вершинами треугольника и получим три треугольника меньшего размера:

∆ АКВ, ∆ АКС, ∆ ВКС.

В ∆ АКВ высота с,

S (AKB) = c*AB:2

∆ АКС высота b,

S (AKC) = b*AC:2

∆ ВКС высота а.

S (BKC) = а*BC:2

S (ABC) = H*AC:2

Но АВ=ВС=АС

Основания треугольников равны, а сумма их площадей составляет площадь исходного равностороннего треугольника АВС.

S (ABC) = S (AKB) + S (AKC) + S (BKC) ⇒

Н=а+b+с - высота данного треугольника

Формула площади равностороннего треугольника, выраженная через высоту:

S=h² : √3

S (ABC) = ((а+b+с) ² : √3)