Как найти синус любого угла

Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение тригонометрической функции синуса для острых углов. По определению синусом угла называют соотношение длины катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы этого треугольника. То есть, если катеты имеют длину А и В, а длина гипотенузы равна С, то синус угла α, лежащего напротив катета А, определяйте по формуле α=А/С, а синус угла β, лежащего напротив катета В - по формуле β=В/С. Синус третьего угла в прямоугольном треугольнике находить нет необходимости, так как угол, лежащий напротив гипотенузы всегда равен 90°, а его синус всегда равен единице.

2

Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos (α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos (α) = (В²+С²-А²) / (2*В*С). А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin (α) = √ (1 - (cos (α)) ²) = √ (1 - (В²+С²-А²) ² / (2*В*С) ²).

3

Воспользуйтесь для нахождения синуса угла двумя разными формулами расчета площади треугольника, в одной из которых задействованы только длины его сторон, а в другой - длины двух сторон и синус угла между ними. Так как результаты их будут равны, то из тождества можно выразить синус угла. Формула нахождения площади через длины сторон (формула Герона) выглядит так: S=¼*√ ((А+В+С) * (В+С-А) * (А+С-В) * (А+В-С)). А вторую формулу можно написать так: S=А*В*sin (γ). Подставьте первую формулу во вторую и составьте формулу для синуса угла, лежащего напротив стороны С: sin (γ) = ¼*√ ((А+В+С) * (В+С-А) * (А+С-В) * (А+В-С) / (А*В)). Синусы двух других углов можно найти по аналогичным формулам.