Дан треугольник ABC и точка D, которая не принадлежит его плоскости. Наклонные DA, DB, DC составляют равные углы с плоскостью треугольника. Докажите, что точка D ортогонально проектируется на плоскость треугольника в центр описанной около треугольника окружности.

Спроецируем точку D на плоскость, опустив перпендикуляр из точки D. Пусть точка D проецируется в точку М. Рассмотрим тр-ки DMA, DMB, DMC. Эти тр-ки равны, т. к. имеют общий катет DM и равные углы DAM, DBM, DCM, противолежащие этому катету. Тогда равны и стороны МА, МВ и МС, являющиеся проекциями наклонных DA, DB, DC соответственно.

Таким образом, на плоскости вершины тр-ка АВС соединены с точкой М, являющеся проекцией точки D, одинаковыми отрезками МА, МВ и МС.

Через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну.

Точка М является центром такой окружности, т. к. расстояния от неё до вершин тр-ка одинаковы МА = МВ = МС.