биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки один из которых на 2 см меньше другого. Найдите площадь треугольника если гипотенуза и второй катет относятся как 5:4

Решение:

Введем обозначения: АВ-гипотенуза. АВ: АС=5:4

АМ-биссектриса. ВМ-МС=2

Пусть АВ=5 х, тогда АС=4 х

СВ=√ (25x²-16x²) = 3x

пусть СМ=у, тогда МВ=у+2, следовательно у+у+2=3 х

2 у=3 х-2

у=1,5 х-1

СМ=1,5 х-1; МВ=1,5 х+1

По свойству биссектрисы имеем:

АС/СМ=АВ/ВМ

4 х / (1,5 х-1) = 5 х / (1,5 х+1)

6x²+4x=7.5x²-5x

1.5x²-9x=0

1.5x (x-6) = 0

x1=0, посторонний корень

x2=6

Итак: АС=24; СВ=18

S=0.5*18*24=216