В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 12 и 20, а меньшая диагональ равна 15. Найдите угол между этой диагональю и большей боковой стороной?

3 способа решения.

1). - самый короткий.

Из величин, данных в условии, напрашивается предположение, что треугольник АВС - египетский:

АВ=4*3=12,

АС=5*3=15,

и ВС явно дожно быть 3*3=9

То же самое с треугольником АСD, в нем отношение сторон

АС:DС: АD=3:4:5, ⇒ АD=25.

И это так и есть, проверьте по т. Пифагора

Отсюда следует вывод:

Треугольник АCD - прямоугольный, угол АСD=90°.

2)

Опустим из В высоту СН на АD.

СН=АВ=12

По т. Пифагора находим ВС=9

АН=ВС=9

По той же теореме

НD=16 ⇒

АD=9+16=25

ВС: АС=АВ: СD=АС: АD = 3/5

Стороны треугольников АВС и АСD - пропорциональны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

В подобных треугольниках углы, заключенные между сходственными сторонами, равны.⇒

∠АСD=∠ АВС=90°

3)

Нашли АН=9, НДD=16, АD=25 (см. выше)

Находим площадь треугольника АСД по формуле S=a*b:2:

S (АСD) = 12*25:2=150

В другую формулу площади треугольника

S (АСD) = AC*CD*sin∠ (ACD) : 2

поставим известные величины и выразим из нее синус искомого угла:

⇒sin∠ (ACD) = 2*S (АСD) : AC*CD

sin∠ (ACD) = 300:300=1

1=sin∠ (90°)

Ответ: угол между меньшей диагональю и большей боковой стороной трапеции равен 90°