Найдите радиус шара описанного около правильной треугольной пирамиды, в которой боковое ребро составляет угол 30 градусов с плоскостью основания, а длина ребра основания равна 3.

В правильной пирамиде высота её проходит в основании через точку пересечения медиан (они же и высоты)

Этой точкой медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника основания.

Рассмотрим сечение пирамиды и описанного около неё шара, проходящее через боковое ребро пирамиды.

Медиана (высота) основания равна 3*cos 30° = 3*√3/2.

В сечении будет прямоугольный треугольник.

Один из катетов его - это 2/3 медианы основания. Он равен

3*√3/2 * (2*3) = √3.

Второй катет - это высота пирамиды. Она равна √3*tg 30° = √3 * (1/√3) = 1.

Боковое ребро - это гипотенуза в рассматриваемом треугольнике.

Оно равно 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2.

Центр шара, как и центр описанной вокруг рассмотренного треугольника окружности, находится на пересечении перпендикуляра к середине бокового ребра и высоты пирамиды.

Эта точка будет находиться ниже основания пирамиды.

Радиус шара равен 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2.