На плоскости даны две окружности радиусов 4 и 3 с центрами в точках O1 и O2, касающиеся некоторой прямой в точках M1 и M2 и лежащие по разные стороны от этой прямой. Отношение отрезка O1O2 к отрезку M1M2 равно 2: (корень из 3). Найдите O1O2.

Опустим перпендикуляр O1F из центра первой окружности на продолжение рдиуса O2M2 второй окружности. ТогдаO1F=M1M2, M2F = O1M1=4, O2F = O2M2+M2F=3+4=7. Из прямоугольного треугольника O1FO2 находим, что cos FO1O2 = ямоугольного треугольника O1FO 2 находим, что

cos FO 1O2 = = =, значит, FO1O2=30o. Следовательно, O1O2=2O2F=2·7=14.