Скажите три признака равенства треугольников

Первый признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и угол A равен углу А1, АВ равно А1 В1, АС равно А1 С1. Докажем, что треугольники равны. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1 В1, а АС=А1 С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1 В1 С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Второй признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащих к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1 В1 С1, у которых АВ равно А1 В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B1. Так как ∠ВАС = ∠В1 А1 С1 и ∠АВС=∠А1 В1 С1, то луч АС совпадёт с А1 С1, а ВС совпадёт с В1 С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1 В1 С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Третий признак. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1 В1, BC = BlC1 СА=С1 А1. Докажем, что ΔАВС = ΔA1B1C1. Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В - с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1 В 1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1 С проходит внутри угла А1 С1 В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1 С1 равны, то треугольники A1C1C и В1 С1 С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.

2) Луч С1 С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, ∆C1BC - равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.

3) Луч C1C проходит вне угла А1 С1 В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1. Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников.