Вершины треугольника со сторонами 2 см, 4√2 и 6 см лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если плоскость треугольника удалена от ее центра на 4 см.

Расположим сферу так, чтобы плоскость треугольника была горизонтальной. Тогда вид сверху даёт нам окружность в которую вписан треугольник АВС. Примем АВ=2, ВС=4 корня из2, АС=6. Обратим внимание, что АС квадрат=АВ квадрат + ВС квадрат. Или 36=4+32. Отсюда - треугольник АВС прямоугольный. Угол В прямой (против большей стороны). Центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы. Обозначим эту точку О1. АО1=СО1=3. Это значит, чтоО1 - центр круга полученного сечением сферы плоскостью в которой лежит треугольник АВС. Тогда расстояние от центра сферы до плоскости треугольника АВС будет равно О1 О. Где О центр сферы. Рассмотрим вид сбоку. В проекции получаем окружность радиусом равным радиусу сферы R. Проекция плоскости треугольника АВС-хорда АС. Проведём радиусы ОА и ОС. Проведём перпендикуляр ОО1=4 (по условию). к АС. Тогда по теореме Пифагора R=корень из (О1 С квадрат + ОО1 квадрат) = корень из (9+16) = 5.