Abc равностороннего треугольника AC, AB MC/MA=NA/NB=2 взяты точки M, N. BM и CN пересекаются в точке P. Докажите APC=90 градус

На координатной плоскости взят треугольник с вершинами

A (0, 0) B (3√3/2, 3/2) C (3, 0) это равносторонний треугольник со стороной 3.

Точки M (1, 0) N (√3, 1) ; удовлетворяют условию.

Прямая BM имеет уравнение y = 3√3 (x - 1)

(Я не буду объяснять, как составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Поскольку через две точки можно провести только одну прямую, достаточно проверить, что уравнению удовлетворяют обе точки, в данном случае y = 0 при x = 1 и y = 3√3/2 при x = 3/2;)

Прямая CN имеет уравнение y = (√3/2) (3 - x) ; (при x = 1 y = √3)

Точка пересечения этих прямых P (p, q) находится так

√3 (3 - p) / 2 = 3√3 (p - 1) ; p = 9/7; q = 6√3/7; q/p = 2/√3;

Поскольку тангенсы угла наклона прямых AP 2/√3 и CN - √3/2 при умножении друг на друга дают - 1, прямые эти взаимно перпендикулярны.