В окружности через середину О хорды АС проведена хорда ВД так, что дуги АВ и СД равны. Доказать, что О - середина хорды ВД.

Дуга АВ=дуге СД, значит угол АОВ=углу СОД. Тогда угол АОД=углу СОВ как смежные к равным углам, но тогда и дуга АД=дуге ВС. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, поэтому угол ВАС=углу ДСА. ΔАОВ=ΔСОД по стороне и двум прилежащим к ней углам (АО=ОС по условию, угол АОВ=углу СОД, угол ВАО=углу ДСО по доказанному). У равных треугольников соответственные стороны равны, поэтому ВО=ОД, значит О - середина ВД