На окружности строится последовательность точек: первая тоска берется произвольно, а начиная со второй, каждая следующая удалена от предыдущей на расстояние, равное радиусу окружности. Докажите, что седьмая точка совпадает с первой.

Ну хорошо вот вам строгое доказательство. Проведем к концам отрезка величиной r, два радиуса r, то треугольник с вершиной в центре окружности равносторонний, и угол при вершине 60 градусов. Проведем радиусы ко всем концам 5 последовательным отрезков равных по величине самому радиусу (как и было сказано в условии), то есть последняя вершина будет 6-ой. Тогда yгол A1OA6=60*5=300. Таким образом до полного круга не хватает еще 360-300=60. Значит угол A6OA1=60, тк треугольник A6OA1 равнобедренный Тк боковые стороны равны как радиусы, то равны и углы при основе. И они равны: (180-60) / 2=60. То есть треугольник A6OA1 тоже равносторонний как и все остальные, а значит A6A1=r. А значит Тк при известном положении точки A6 существует только 1 точка A7 лежащая правее A6, что угол A6OA7 равен 60, то отсюда очевидно что A1=A7