В сферу вписан конус с высотой, равной диаметру основания. Найдите площадь основания конуса, если площадь сферы равна 125

Пусть R - радиус сферы, H и D - высота и диаметр основания конуса. По условию, H=D. Если рассечь сферу плоскостью, проходящей через её центр, то в сечении мы получим окружность радиуса R, описанную около равнобедренного треугольника с основанием D=H и боковыми сторонами a. Так как по условию площадь поверхности сферы равна 125, то получаем уравнение 4*π*R²=125. По свойству вписанного в окружность треугольника, R=a*a*H / (4*S) = a²*H / (4*S), где S - площадь треугольника. Но S = (H/2) * H=H²/2, а по теореме Пифагора a²=H² + (H/2) ²=5*H²/4. Отсюда R=5*H/8 и H=8*R/5. Площадь основания конуса S1=π * (H/2) ²=π*H²/4=0,64*π*R². А так как 4*π*R²=125, то S1/125=0,64*π*R² / (4*π*R²) = 0,16. Отсюда S1=0,16*125=20. Ответ: 20.