Медиана BM и биссектриса AP треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины стороны АВ. Найдите отношение площади треугольника АКМ к площади четырехугольника PBK

Т. к. ВМ - биссектриса треугольника АВС, то S (АВМ) = S (ВСМ)

! Т. к. АК - биссектриса треугольника АВМ, то S (АВК) = S (АКМ) = S (АВМ) / 2 = S (ВСМ) / 2

Проведем МТ так, что МТ || КР. Тогда КР - средняя линия в треуг-ке ВМТ, а МТ - средняя линия в треуг-ке АРС, значит ВР=РТ=ТС, т. е. ВС=3 ВР. По условию ВК=КМ, т. е. ВМ=2 ВК. Тогда:

S (KBP) = 1/2*ВК*ВР*sinКВР

S (ВСМ) = 1/2*ВМ*ВС*sinКВР=1/2*2 ВК*3 ВР*sinКВР=3*ВК*ВР*sinКВР

! Тогда S (KBP) / S (ВСМ) = 1 / 6

Сравниваем строчки, помеченные! и получаем S (AKМ) : S (PВК) = 3:1