Пусть ABC - равносторонний треугольник, радиус описанной окружности которого равен 1, M - точка, которая делит дугу AC этой окружности в отношении 1:2014 считая от вершины A. Найдите MA^2+MB^2+MC^2.

Геометрический способ:

S (AMB) = 1/2MA·MB·sin (AMB) = (√3/4) MA·MB, т. к. ∠AMB=∠ACB=60°.

Отсюда MA·MB=4S (AMB) / √3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S (AMC) / √3, MC·MB=4S (СMВ) / √3.

По теореме косинусов для тех же треугольников:

AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB² - (4/√3) ·S (AMB) ;

AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС² - (4/√3) ·S (AMС) ;

СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB² - (4/√3) ·S (СMB).

Сложим эти равенства:

AB²+AС²+СB²=2 (MA²+MB²+MС²) - (4/√3) · (S (AMB) - S (AMС) + S (СMB)).

Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,

S (AMB) + S (СMB) - S (AMС) = S (ABC) = (3√3) / 4.

Поэтому 9=2 (MA²+MB²+MС²) - (4/√3) · (3√3) / 4, т. е.

MA²+MB²+MС² = (9+3) / 2=6.

Тригонометрический способ:

Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то MА=2Rsin (x), MB=2Rsin (60°+x), MC=2Rsin (60°-x). Значит

MA²+MB²+MС²=4R² (sin² (x) + sin² (60°+x) + sin² (60°-x)).

После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.