Углы при одном из оснований трапеции равны 75 и 15 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 7. Найдите меньшее из оснований этой трапеции.

Пусть AD>BC, тогда острые углы равные 75 и 15 гр лежат при оснований AD, положим что Y, W середины сторон AB и CD соответственно, тогда YW средняя линия трапеции, значит AD+BC=2YW из условия мы знаем что YW равна либо 15 либо 7, положим что AB и CD пересекаются в точке E, тогда AED=180 - (75+15) = 90, положим также что Z, X это середины сторон основании BC, AD соотвественно, пусть N точка пересечения YW и ZX, тогда по замечательному свойству трапеции точки E, Z, X лежат на одной прямой, учитывая что угол AED прямой, получаем что AX=EX=AD/2, EZ=BZ=BC/2, но так как EX=EZ+ZX откуда окончательно получаем две системы

{AD-BC=2*7

{AD+BC=2*15

Или

{AD-BC=2*15

{AD+BC=2*7

Подходит решение первой системы, так как они положительны, складывая получаем AD=22, BC=8, значит ответ BC=8.