Через т. косинусов и синусов.

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в т. М, при этом АМ=1, ВМ=4. Найдите СМ, если известно, что угол ВАС=120

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны ...

и тогда по т. косинусов можно записать:

(4+x) ² = 5² + (x+1) ² - 2*5 * (x+1) * cos (120·)

16 + 8x + x² = 25 + x² + 2x + 1 + 5x + 5

x = 15 - - это равные расстояния от вершины С треугольника до точек касания окружности со сторонами CВ и СА,

следовательно, СА = 15+1 = 16, СВ = 15+4 = 19

и вновь по т. косинусов из треугольника СМА

СМ² = 1² + 16² - 2*1*16*cos (120·)

CM² = 1+256+16 = 273

CM = √273