В равностороннем треугольнике авс точки М, N и K - середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Докажите, что при повороте вокруг центра треугольника на 120 градусов по часовой стрелке средняя линия МN перейдёт в среднюю линию NK.

Док-во:

ΔABC - равносторонний (по условию)

⇒ углы ABC, BCA, CAB = 60 градусов.

Доп. построение:

продлим прямую AC и отметим на ней т. F

углы ACB и BCF - смежные.

угол BCF = 180 - 60 = 120 град.

⇒ при повороте треугольника ABC на 120 градусов, он займет такое же положение в пространстве, что и до этого.

ΔMNK подобен ΔABC (т. к. все линии ΔMNK соединяют середины сторон равностороннего ΔABC)

⇒ средняя линия MN перейдёт в среднюю линию NK, что и требовалось доказать.