Треугольник abc, угол c-90 градусов, cd высота, bc=2bd. Док-ть AD = 3BD.

треугольник СДВ угол ДВС=30, гипотенуза ВС в 2 раза больше катета, уголВ=90-30=60, уголА=90-60=30, ДС=корень (ВС в квадрате-ВД в квадрате) = корень (4 ВД в квадрате - ВД в квадрате) = ВД*корень3

АД/СД=СД/ВД, АД / (ВД * корень3) = (ВД*корень3) / ВД

3*ВД в квадрате / ВД=АД

3 ВД=АД

тр-к CDB:

угол CDB = 90

BC = 2 * BD = > CD^2 = 3 * BD^2 (по т. Пифагора)

тр-к ADC:

угол ADC = 90

АС^2 = CD^2 + AD^2 = 3 * BD^2 + AD^2

Но, по т. Пифагора:

AC^2 = AB^2 - BC^2 = (BD + AD) ^2 - 4 * BD^2 = - 3 * BD^2 + 2 * BD * AD + AD^2

Таким образом:

3 * BD^2 + AD^2 = - 3 * BD^2 + 2 * BD * AD + AD^2

6 * BD^2 = 2 * BD * AD

3 * BD = AD,