В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член равен 3, а сумма третьего и пятог очленов равна 270. Найдите четвертый член прогрессии.

A₁ = 3

a₂ = a₁ * q

a₃ = a₁ * q²

a₄ = a₁ * q³

a₅ = a₁ * q₄

a₃ = 3q₂

a₅ = 3q₄

Уравнение

a₃ + a₅ = 270

3q² + 3q₄ = 270

Сократим на 3

q⁴ + q² - 90 = 0

Пусть q² = t, тогда

t² + t - 90 = 0

D = 1 - 4 * 1 * (- 90) = 361

√D = √361 = 19

t₁ = (- 1 - 19) / 2 = - 10 не подходит отрицательное значение, q² ≠ - 10

t₂ = (- 1 + 19) / 2 = 9 q² = 9

q₁ = √9 = 3 не подходит, т. к прогрессия знакочередующаяся, а это возможно только при отрицательном знаменателе q

q₂ = - √9 = - 3 подходит

q = - 3

a₄ = a₁ * q³ = 3 * (- 3) ³ = 3 * (- 27) = - 81

Ответ: а₄ = - 81