А1, А2 ... А8 - правильный 8-угольник. Отрезки А1 А7 и А3 А8 пересекаются в точке Q. Найдите (в градусах) угол А1QA3

Выпуклый многоугольник называется правильным, если равны все его стороны и равны все его углы.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

Угол А1 А8 К - развернутый, равен 180°

Данный многоугольник правильный, все его внутренние, а, значит, и внешние углы равны.

Угол А7 А8 К=360°:8=45°⇒

угол А1 А8 А7=180° - 45°=135°

∆ А1 А8 А7 - равнобедренный.

∠А1 А7 А8=А7 А1 А8 = (180°-135°) : 2=22,5°

А3 А7 - диаметр описанной окружности. ⇒ ∠А3 А8 А7=90°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° ⇒

∠А7QА8=90°-22,5°=67,5°

Угол А1QА3 = углу А7QА8 как вертикальный

Угол А1QА = 67,5 °