Есть описанная около окружности равнобедренная трапеция, в которой проведена средняя линия MN. MN будет совпадать с диаметром?

MN - будет совпадать с диаметром тогда и только тогда, когда описанная трапеция - квадрат. В противном случае диаметр лежит на этой средней линии, т. к. она проходит через центр окружности и диаметр будет меньше этой средней линии. То, что диаметр принадлежит средней линии вытекает из того, что отрезок соединяющий середины оснований трапеции - перпендикулярен основаниям, проходит через центр окружности равен двум радиусам и делится центром окружности пополам (т. е. этот отрезок, как раз совпадает с диаметром). А средняя линия тоже делит этот отрезок пополам значит тоже проходит чрез центр окружности.