Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды равновелико основанию. Найти площадь основания пирамиды, если ее боковое ребро равно 5

Квадрат - ромб.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Диагонали квадрата равны. Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.

Пусть диагональ квадрата равна d.

Тогда его площадь равна

S=d²:2

Площадь диагонального сечения этой пирамиды равна

S сечения = h∙d:2

Так как сечение равновелико основанию, то

d²:2=h∙d:2

Очевидно, что

h∙d=d²

h=d

Рассмотрим прямоугольный треугольник, состоящий из катета, равного диагонали d (высота), второго катета, равного половине диагонали основания d:2, и гипотенузы, равной ребру = 5

По теореме Пифагора

25=d² + (d:2) ²=d²+d²:4

25 = (5d²) : 4

5d²=100

d²=20

d=2√5

S=d²:2

S = (2√5) ²:2

S основания = 4∙5 : 2=10

Основание правильной четырехугольной пирамиды - правильный четырехугольник или квадрат. Для того, чтобы найти площадь основания - надо найти длину стороны основания.

Диагональное сечение пирамиды - это треугольник, имеющий основанием диагональ квадрата, а сторонами - боковые ребра.

Пусть длина диагонали равна b, тогда длина стороны квадрата будет равна, по теореме Пифагора a = b/sqrt (2) (Нарисуйте квадрат - разделите его диагональю. Диагональ - это гипотенуза, стороны - катеты).

Площадь треугольника - сечения пирамиды, равна:

S1 = b*h/2,

где h - высота пирамиды, Т. к. пирамида правильная. Высота пирамиды делит сечение на 2 прямоугольных треугольника, так что, по теореме Пифагора:

h = sqrt (25 - b^2/4)

С другой стороны, площадь основания равна:

S2 = a^2

Приравнивая S1 = S2 и исключая h, находим:

b^2/4 = b*sqrt (25 - b^2/4) / 2

или

b^2 = 2b*sqrt (25 - b^2/4)

b = 2sqrt (25 - b^2/4)

Из этого уравнения находите диагональ b, а затем стороно а и площадь квадра S2.

Вот и все! Удачи!