дак прямоугольный треугольник ABC угол С=90 градусов, CD бис-са, AD=15, DB=20. Найти S треугольника ABC

Итак, что мы имеем: треугольник АВС, где угол А=90 градусов, и высота АD делит его на два прямоугольных треугольника.

Начнем с того, что попроще: треугольник ADB (угол D=90 градусов), катет AD=12, гипотенуза АВ=20, по теореме Пифагора 20^2=12^2+DB^2

Таким образом, сторона DB=16

Теперь рассмотрим второй треугольник, получившийся при делении большого треугольника высотой:

CDA, где угол D = 90 градусов.

Катет AD=12, катет DC=X, гипотенуза AC=Y

По все той же теореме Пифагора получаем:

Y^2=12^2+X^2

Теперь рассмотрим исходный треугольник АВС

Катет АВ=20, катет АС=Y (смотри выше), гипотенуза СВ=X+16

По теореме Пифагора получаем:

20^2+Y^2 = (X+16) ^2 = > Y^2=X^2+32X+256-400 = > Y^2=X^2+32X-144

подставляем в уравнение Y^2=12^2+X^2 выраженное значение Y, получаем:

X^2+32X-144=12^2+X^2

32X=288

X=9

Таким образом, гипотенуза ВС=16+9=25

Катет АС=15

Косинус угла С равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, т. е. cos C = AC/CB=15/25=3/5

Треугольник АВС, С=90, СД биссектриса. АВ = АД+ВД=15+20=35

ВС = а, АС = корень (АВ в квадрате - ВС в квадрате) = корень (1125 - а в квадрате)

АД/ДВ = АС/ВС

15/20 = корень (1125 - а в квадрате) / а

3/4 = корень (1125 - а в квадрате) / а, возводим все в квадрат

9/16 = (1125 - а в квадрате) / а вквадрате

9 х а в квадрате = 19600 - 16 х а в квадрате

а в квадрате = 784, а = 28 = ВС

АС = корень (1225 - 784) = 21

Площадь = АС х ВС/2 = 28 х 21 / 2 = 294