Длина бокового ребра правильной шестиугольной пирамиды равна 16, радиус вписанной в основание пирамиды окружности 12. найти высоту пирамиды.

Рассмотрим основание пирамиды. Это правильный шестиугольник, состоящий из шести (если соединить его вершины с центром вписанной в него окружности) правильных треугольников. Рассмотрим один из таких треугольников АОВ, где О-центр вписан окр. Опустим из О на АВ перпендикуляр ОК. Это и есть радиус вписанной окр.=12. Эта высота явл. также и медианой, т. е. если сторону (АО) обозначить через хсм, то АК=х/2, а ОК=12 по условию. По т. Пифагора

x^2-x^2/4=144,3x^2=576, x=8 корней из 3.

Рассмотрим треугольник АОS, где S-вершина пирамиды, SO-высота, т. е. угол SOA=90 градусов, AS=16 по условию, а АО мы нашли, как х=8 корней из 3 х

Тогда по т. Пифагора высота SO^2=SA^2-OA^2=256-192=64, а SO (высота пирамиды) = 8 см.