Доказать, что если биссектрисы двух углов треугольника образуют при пересечении угол 135, то этот треугольник - прямоугольный.

Вспомним, что биссектриса угла делит его пополам.

Сумма углов треугольника 180 градусов, а в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов.

Если тупой угол треугольника, получившийся при пересечении биссектрис острых углов, равен 135 градусов, то сумма двух других углов равна 45 градусов, а это половина суммы острых углов прямоугольного треугольника.

Следовательно, исходный треугольник - прямоугольный.

Воспользуемся свойством: внешний угол треугольника в 2 раза больше острого угла между биссектрисами углов не смежных с ним.

Наши биссектрисы образуют тупой угол 135⁰, следовательно по свойству смежных углов острый угол между биссектрисами 45⁰. А по вышеизложенному свойству внешний угол в 2 раза больше острого угла между биссектрисами, т. е. 45⁰·2=90⁰.

Значит смежный с внешним углом внутренний угол треугольника тоже равен 90⁰, таким образом, треугольник прямоугольный.