Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Найдите наибольшее возможное значение наименьшей высоты треугольника.

Пусть h1≤h2≤h3 - высоты треугольника (h1 - наименьшая). Можно воспользоваться известным соотношением: 1/r=1/h1+1/h2+1/h3. Отсюда 1/r≤3/h1, т. е. при r=1 получаем h1≤3. Это значение, очевидно достигается в равностороннем треугольнике. Т. е. ответ 3.

P. S. Доказать 1/r=1/h1+1/h2+1/h3 можно так: если h1, h2, h3 - высоты проведенные к сторонам а, b, c, то по формуле площади треугольника

1/h1=a / (2S), 1/h2=b / (2S), 1/h3=c / (2S), откуда 1/h1+1/h2+1/h3 = (a+b+c) / (2S) = 1/r, т. к. S=pr, где p - полупериметр.