Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB и AC в точках M и N. Окружность с центром Q вписана в треугольник AMN. Найдите OQ, если AB=13 BC=15 AC=14

Чтобы найти ОQ, нужно доказать, что центр Q окружности, вписанной в ΔAMN, лежит на вписанной окружности ΔABC. Отметим точку Е на меньшей дуге MN вписанной окружности ΔABC так, что дуга МЕ равна дуге NE.

Т. к. угол между касательной АМ и хордой МЕ, проведенной в точку касания M, равен половине дуги МЕ, стягиваемой этой хордой (теорема об угле между касательной и хордой), то <АМЕ=дуга МЕ/2. Аналогично <АNЕ=дуга NЕ/2=дуга МЕ/2.

Т. к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается,

то
Значит
Следовательно, МЕ - биссектриса угла AMN, а NЕ - биссектриса угла ANM.

Точка Е пересечения биссектрис ΔAMN является центром вписанной в треугольник окружности, а это означает, что она совпадает с точкой Q. ОQ является радиусом вписанной окружности в ΔАВС:

OQ=R=√ (p-АВ) (p-ВС) (р-АС) / р

полупериметр р = (АВ+ВС+АС) / 2 = (13+15+14) / 2=21.

Тогда OQ=√ (21-13) (21-15) (21-14) / 21=√8*6*7/21=√16=4.