Основания трапеции равны a и b. определить длину отрезка, параллельного основанию и делящего трапецию на равные по площади части

Техническое решение, я обычно такие не выкладываю, но эта задача тут столько раз встречалась ...

Основания a и b, искомая линия m, расстояние от a до b (высота трапеции) H, расстояние от a до m - h;

(a + m) * h/2 = (1/2) * (a+b) * H/2;

(b + m) * (H - h) / 2 = (1/2) * (a + b) * H/2;

h = H * (a + b) / (2 * (a + m)) ;

(b + m) * H * (1 - (a + b) / (2 * (a + m))) = (a + b) * H/2;

(b + m) * (a + m - (a + b) / 2) = (a + b) * (a + m) / 2;

(b + m) * (a + m) = (a + b) * (a + b + 2*m) / 2 = m * (a + b) + (a + b) ^2/2;

m^2 + m * (a + b) + a*b = m * (a + b) + (a + b) ^2/2;

m^2 = (a^2 + b^2) / 2;

это ответ, ну корень извлечь легко, если что ... У результата есть смешной геометрический смысл - площадь квадрата со стороной m равна полусумме площадей квадратов со сторонами a и b.