Стороны треугольника равны 25 см, 39 см и 56 см. Точка М удалена от каждой стороны этого треугольника на 25 см. Вычислить расстояние от точки М до плоскости треугольника.

Поскольку наклонные, являющиеся расстояниями от М до сторон тр-ка, одинаковые, то и проекции их на плоскость треугольника одинаковые и равны радиусу вписанной в треугольник окружности.

r = √ ((р - а) (р - в) (р - с) / р

Пусть а = 25, в = 39, с = 56, тогда полупериметр

р = 0,5· (25 + 39 + 56) = 0,5·120 = 60

r = √ ((60 - 25) (60 - 39) (60 - 56) / 60) = √ (35·21·4/60 = √49 = 7

Растояние Н от точки М до плоскости тр-ка, радиус r вписанной окружности и любая из наклонных L = 25 образуют прямоугольный тр-к с гипотенузой L.

По теореме Пифагора найдём Н

Н² = L² - r² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576

Н = 24 (см)