Угол между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен альфа. Найдите плоский угол при вершине пирамиды если cos альфа/2 = 2/3

Обозначим сторону основания а.

Проведём плоскость через ребро основания АВ перпендикулярно боковому ребру SC для выделения угла между боковыми гранями.

Обозначим на ребре SC точку К - это вершина равнобедренного треугольника АКВ. По заданию угол АКВ равен α.

sin (α/2) = √ (1-cos² (α/2)) = √ (1 - (4/9)) = √ (5/9) = √5/3

Сторона АК = (а/2) / sin (α/2) = (a/2) / (√5/3) = 3a / (2√5).

Теперь рассмотрим боковую грань АSC. В этом треугольнике АК - высота. Угол С = arc sin (AK/AC) = arc sin (3a / (2√5) / a = arc sin 3 / (2√5) =

= 0.735314 радиан = 42.13041 градусов.

Искомый угол при вершине равен 180-2 (угла С) = 180 - 2 * 42.13041 =

= 95.73917 градуса.