Докажите, что медианы делят треугольник на шесть треугольников с равными площадями.

Ну, тут есть много способов доказать.

То, что медианы пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2/1, считая от вершины, доказывается самостоятельно, и это можно использовать.

Дальше, если у двух треугольников общая высота и равные стороны, к которым эта высота проведена, то их площади равны. Поэтому из 6 треугольников попарно имеют равные площади те треугольники, у которых стороны вместе образуют сторону исходного треугольника.

Формально это выглядит так.

Треугольник ABC, A1 - середина BC, B1 - середина AC, C1 - середина AB, медианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке G. Можно записать, что у нас есть два треугольника площадью S1 (прилегающих к стороне AB - AC1M и BC1M имеют общую высоту - расстояние от M до AB, и равные стороны AC1 и BC1), два - площадью S2 (BA1M и CA1M), и два площадью S3 (AB1M и CB1M) ;

Так же равны площади треугольников ABB1 и CBB1 (точно так же - AB1 = B1C, высота общая, расстояние от B до AC). Отсюда

2*S1 + S3 = 2*S2 + S3;

то есть S1 = S2;

Точно так же из равенства площадей ACC1 и BCC1

2*S3 + S1 = 2*S2 + S1;

S3 = S2;

всё доказано.

Равенство площадей можно увидеть "непосредственно". К примеру, расстояние от точки M до BC в 3 раза меньше расстояния от точки A до BC. Это легко показать, если провести соответствующие перпендикуляры и вспомнить, что MA1/AA1 = 1/3; из подобия треугольников такое же отношение будет и у высот треугольников ABC и AMC. У этих треугольников общая сторона AC, а высота AMC к этой стороне в 3 раза меньше, значит, и площадь в 3 раза меньше.

А медиана MA1 делит AMC еще на два равных по площади треугольника - у них общая вершина напротив равных сторон, то есть общая высота к равным сторонам. Это всё.