Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Пусть ОК=х

ОЕ=у

ОР=z

тогда:

S (АВО) = (х*а) / 2

S (ВОС) = (у*а) / 2

S (СОА) = (z*а) / 2

S (АВС) = S (АВО) + S (ВОС) + S (СОА) =

(х*а) / 2 + (у*а) / 2 + (z*а) / 2=

(а/2) * (x+y+z) (1)

с другой стороны

S (АВС) = (а*h) / 2

где h - высота

высота в равностороннем треугольнике равна h = (а√3) / 2 ⇒

S (АВС) = (а*h) / 2 = (а * ((а√3) / 2)) / 2 = (а²√3) / 4 (2)

приравняем (1) и (2)

(а/2) * (x+y+z) = (а²√3) / 4

x+y+z=[ (а²√3) / 4] / (а/2)

x+y+z = (а√3) / 2=h

сумма расстояний будет всегда равняться высоте